DEFINIZIONE : una funzione reale di due variabili reali è una legge f che ad ogni coppia di numeri reali (x,y) associa un solo numero reale z.
x e y sono le variabili indipendenti
z è la variabile dipendente
per indicare che la funzione f associa alla coppia (x,y) il valore z si scrive:

f : (x,y) → z
z = f(x,y)

Le due variabili indipendenti x e y rappresentano punti appartenenti al piano xy;ad ogni punto P(x,y) è associato un solo punto dello spazio cartesiano, di coordinate Q(x,y,z).

DOMINIO:

Il dominio o insieme di definizione di una funzione di due variabili reali è rappresentato dall'insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali (x,y) per le quali è possibile determinare il valore z=f(x,y).

Per determinare il dominio di una funzione di due variabili occorre tenere presente le regole valide per le funzioni di una variabile.
La sua ricerca si riconduce spesso alla risoluzione di equazioni, disequazioni e sistemi in due variabili. Pertanto la rappresentazione grafica del dominio di una funzione di due variabili risulta essere costituito da tutto il piano Oxy oppure da un suo sottoinsieme.

Rappresentare graficamente la funzione z=f(x,y) può risultare di non semplice realizzazione.

Per evitare di ricorrere a grafici tridimensionali, è spesso preferibile utilizzare il metodo usato per la costruzione delle carte topografiche, basato sulla rappresentazione delle proiezioni quotate o linee di livello.

Le linee o curve di livello della funzione z=f(x,y) si ottengono intersecandone il grafico con piani paralleli al piano xy.
Le linee di sezione della funzione z=f(x,y) si ottengono intersecando il grafico con piani paralleli al piano xz o yz

 

PUNTI STAZIONARI(si determinano mettendo a sistema f 'x=0 & f 'y=0):

Massimo Assoluto: diremo che P₀ è un massimo assoluto. se comunque si scelga un punto P(x,y) appartenente al D , risulta     f(x,y) <= f(x0,y0)

Massimo Relativo: diremo che la funzione ha un massimo relativo nel punto P₀(x0,y0) appartenente al D se esiste un intorno I(P₀) tale che per ogni P(x,y) si abbia       f(x,y) <= f(x0,y0)

Minimo Assoluto: diremo che P₀ è un minimo assoluto se comunque si scelga un punto P(x,y) appartenente al D , risulta     f(x,y) >= f(x0,y0)

Minimo Relativo: diremo che la funzione ha un minimo relativo nel punto P₀(x0,y0) appartenente al D se esiste un intorno I(P₀) tale che per ogni P(x,y) si abbia      f(x,y)>= f(x0,y0)

Punto di sella:è un punto P₀ che presenta un intorno dove vi sono sia valori minori della f(P₀) sia valori maggiori di f(P₀)

HESSIANO(usato per decidere di che tipo è il punto stazionario):si dice Hessiano di una funzione f(x;y), dotata di derivate parziali del secondo ordine , la funzione delle due variabili x e y così definita:

 1)Se H(x0,y0)>0 e f " xx(x0,y0)>0 allora P₀ è un minimo relativo

2) Se H(x0,y0)>0 e f " xx(x0,y0)<0 allora P₀ è un massimo relativo

3) Se H(x0,y0)<0 allora è un punto di sella

 4) Se H(x0,y0)=0 allora non si può affermare nulla